Regla de l’ Hôpital

En matemática, más especialmente en el cálculo diferencial, la regla de l’ Hôpital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l’ Hôpital, quien dio a conocer la regla en una de sus obras.
Aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de l’ Hôpital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.

La regla de L’ Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo   o .

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivarles en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c.

Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto, 

Karen Uhlenbeck

Es una matemática estadounidense especialista en ecuaciones en derivadas parciales. Sus trabajos han favorecido importantes avances en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales geométricas, la teoría gauge y los sistemas integrables.
Uhlenbeck ha trabajado primero en el cálculo de variaciones y posteriormente se dio a conocer principalmente por sus trabajos sobre ecuación en derivadas parciales no lineales en varios problemas geométricos y físicos.
Ha demostrado la existencia de medidores de Coulomb para las ecuaciones de Kang-Mills y ha deducido, ya que estas ecuaciones resultan elípticas para un calibre determinado, propiedades analíticas de sus soluciones. Ha trabajó también en las ecuaciones de ondas no lineales y en los sistemas integrables a una infinidad de cantidades conservadoras.
A lo largo de su carrera ha denunciado los prejuicios contra las mujeres y las dificultades en los espacios profesionales en matemáticas. “Me dijeron que nadie contrataba a mujeres, porque las mujeres debían estar en casa y tener bebés” explicó en un libro publicado en 1997. 🤨🙄
Este mes recibió el premio Abel 2019 dotado con 770000 euros, convirtiéndose en la primera mujer ganadora de esta distinción que se otorga desde 2003.

MUJERES MATEMÁTICAS

El acceso de las mujeres al mundo científico y en especial al matemático, no ha sido fácil. Seguramente si queremos nombrar a alguna persona que haya hecho aportes decisivos a la historia de las matemáticas, nos vendrán a la memoria nombres como Pitágoras, Descartes, Euler, Newton o Gauss.
Es poco probable que se nombre a Hipatia de Alejandría, a Sophie Germain o Emmy Noether por citar algunas. Si bien es cierto que los grandes matemáticos han sido en su inmensa mayoría hombres, también hay que reconocer que las mujeres no sólo no han tenido facilidades sino que han tenido que superar grandes barreras que se les imponían, para ser matemáticas.
Escribir sobre las grandes mujeres matemáticas sería una tarea inacabable, pero quiero recordar que también la mujer ha trabajado a lo largo de la historia como matemática.
Voy a pasar a contar un poco la biografía de Hipatia de Alejandría y Emmy Noether puesto que de Sophie Germain ya hablé hace meses:


Hipatia de Alejandría:

Fue una filósofa y maestra neoplatónica griega natural de Egipto, que destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía, miembro y cabeza de la Escuela neoplatónica de Alejandría a comienzos del siglo V.
Seguidora de Platonio, cultivó los estudios lógicos y las ciencias exactas, llevando una vida ascética. Hipatia es la primera mujer matemática de la que se tiene conocimiento seguro y detallado. Escribió sobre geometría, álgebra y astronomía, mejoró el diseño de los primitivos astrolabios (instrumentos para determinar las posiciones de las estrellas sobre la bóveda celeste) e inventó un densímetro, por ello está considerada como una pionera en la historia de las mujeres en la ciencia.


Emmy Noether:

Fue una matemática alemana, de ascendencia judía, especialista en la teoría de invariantes y conocida por sus contribuciones de fundamental importancia en los campos de la física teórica y el álgebra abstracta. Considerada por David Hilbert, Albert Einstein y otros personajes como la mujer más importante en la historia de las matemáticas, revolucionó la teoría de anillos, teoría de cuerpos y la de K-álgebras.
En física, el teorema de Noether explica la conexión fundamental entre la simetría en física y las leyes de conservación. A pesar de ello, se le negó la posibilidad de un puesto digno en la universidad por el hecho de ser mujer.

Paolo Ruffini

Fue un matemático, filósofo y médico italiano. Nació en 1765 y murió en 1822 a los 57 años. De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Paolo entró en la universidad de Módena para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura. Entre sus profesores estaba Luigi Fantini, que le enseñó geometría y Paolo Cassiani que le enseñó cálculo.
Fue nombrado profesor de fundamentos de análisis. Después, Fantini, que le había enseñado geometría perdió poco a poco la vista y tuvo que renunciar a su puesto. Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin embargo, Ruffini no era sólo matemático. También, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en Módena.
Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a. Sin embargo, no fue esta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

La leyenda de Lilavati

Bhaskara II nació en torno al año 1114 y fue el matemático hindú más prestigioso de su tiempo. Su fama se debe fundamentalmente a tres obras: Lilavati, Bijaganita, y Siddanta Siromani. La reputación alcanzada por sus obras fue tan grande que los manuscritos se estuvieron copiando durante siglos. En el año 1587 el poeta cortesano Fyzi tradujo el Lilavati al persa incluyendo una leyenda que ha pasado a la historia de las matemáticas.
Bhaskara II tuvo una hija a la que puso por nombre Lilavati. Al nacer, su padre consultó a los astrólogos sobre el destino de la niña y el horóscopo reveló que nunca se casaría. Intentando obtener otra respuesta más satisfactoria preguntó a otro astrólogo que le sugirió que llevase a su hija a vivir a un determinado lugar cercano al mar ya que solamente en este sitio tendría una única oportunidad de contraer matrimonio si no dejaba pasar la hora propicia. Siguiendo estas indicaciones la joven se estableció en este lugar y después de un tiempo pidió su mano un joven hermoso, amable y de buena posición social. Fijaron la fecha y la hora de la ceremonia invitando a sus familiares.
Los hindúes medían las horas del día ayudándose con una especie de reloj de agua al que denominaban cilindro del tiempo (conocida como clepsydra). El artificio consistía en un cilindro que se colocaba en el interior de un recipiente con agua. El cilindro tenía un pequeño orificio en la base por el que podía penetrar el agua. A medida que el agua iba entrando el cilindro iba pesando más y llegaba un momento en el que se hundía en el recipiente. Se estudiaba para que se hundiese a una hora determinada.
El día de la ceremonia el padre de Lilavati preparó muy bien el reloj para que se hundiese a la hora convenida para ir al templo. Sin embargo, el destino le jugó un faena a la hermosa joven. Una de las veces que fue a mirar el reloj se le cayó una perla de su vestido y la perla obstruyó el orificio del cilindro, por la que no entró más agua y se pasó la hora de la ceremonia.
Los invitados se marcharon y las familias se tuvieron que volver a reunir para fijar una nueva fecha para la boda pero semanas después el novio se marchó de la localidad huyendo de su compromiso matrimonial.
El matemático aceptó que no se puede luchar contra el destino y para consolar a su hija le dijo que escribiría un libro muy hermoso al que pondría su nombre y que los hombres de las generaciones futuras se acordarían de ella mucho más que si hubiese tenido hijos.
En efecto, esto es lo que ha sucedido ya que la leyenda ha traspasado las fronteras del espacio y el tiempo.

Tales de Mileto

Tales de Mileto fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego. Vivió y murió en Mileto, polis griega de la costa jonia (hoy en Turquía). Es la antigüedad se le consideraba uno de los Siete Sabios de Grecia. No se conserva ningún texto suyo y es probable que no dejara ningún escrito a su muerte.
A menudo Tales es considerado el iniciador de la especulación científica y filosófica griega y occidental, aunque su figura y aportaciones están rodeadas de grandes incertidumbres.
Es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias: el milesio se percató de que se podría saber la altura exacta de las pirámides midiendo la sombra de estas en el momento del día en que su sombra era más o menos de igual tamaño que su cuerpo. Este método fue aplicado luego a otros fines prácticos de la navegación.
Se supone además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.
Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las superficies) y mucho más a las líneas curvas, alcanzando así su geometría un mayor grado de complejidad y abstracción.

Enigma matemático (ejercicio)

¿Cuánto pesa cada una de las bolas de color? 

Primero me he fijado en la del medio, y lo primero que he pensado ha sido que cada bola pesa 5kg, después vamos a la de abajo y la cosa parece que encaja puesto que entre la bola verde y azul pesan 10kg y en la del medio hemos dicho que cada una pesa 5kg.
Pero luego nos toca realizar la primera y vemos que la cosa no es como creíamos ya que entre la verde y la roja pesan 8kg y dijimos que la roja pesaba 5kg y la verde también, lo cual no es cierto porque si fuera así, en la de arriba nos tendría que dar 10 kg y sin embargo la cantidad es de 8kg.
Entonces vamos a ir realizando el ejercicio de una forma llamada “la cuenta de la vieja”. (Realmente no sé si habrá alguna forma específica para resolver este ejercicio), pero mi solución es: 

El LENGUAJE en las REDES SOCIALES

Hoy en día la mayoría de los adolescentes escribimos numerosas faltas de ortografía en las redes sociales, pero no sólo los adolescentes, también se ha extendido por gente de diferentes edades. La causa de esto puede ser la vagancia (tardar menos en mandar un mensaje).
No sé si esto es un problema de gravedad, pero sí es cierto que deberíamos controlarlo más puesto que conozco gente que al estar acostumbrado a escribir así en las redes sociales luego a “simplificado” palabras en los exámenes, etc.
He entrado en el enlace del tweet y he leído comentarios que hacia la gente sobre este tema y la mayoría de ellos se centraban en el uso de las tildes y en la importancia de estas. Y sí, tienen importancia, porque existen muchas palabras que pueden llevar o no, tilde. Y según sea, el significado de la palabra cambia.
De esta forma te das cuenta de la importancia que tiene escribir correctamente.
También venían fotos con frases, estas tenían un toque de humor haciendo un llamamiento al uso de las tildes. Una de ellas era:


                         SI CUIDAR LA ORTOGRAFÍA
                         TE PARECE UN DISPARATE,
                         DISPÁRATE 

Arquímedes

Arquímedes de Siracusa fue un físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático griego. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica.
Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Experimentos modernos han aprobado las afirmaciones de que llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.
Fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi.
También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.
A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad.
Fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

El número Pi

El número Pi es el número más estudiado y aclamado de las matemáticas, se trata de un número que tiene infinitas cifras decimales. Se cree que su origen se remonta al año 2000 a.C y representa una de las constantes matemáticas más importantes utilizada habitualmente en matemáticas, física e ingeniería. Es una de las constantes matemáticas más comunes en las ecuaciones de la física.
Pi es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana.
Se trata de un número tan aclamando que cuenta con su propia celebración: el 14 de marzo. Esta fecha coincide con el día de nacimiento del físico alemán Albert Einstein en 1879 y con el fallecimiento del filósofo y economista Karl Marx.

POEMA DE PI #piday

#piema 



3     Ven
1     y
4     suma
1     o
5     resta,
9     aprovecha,
2     tú
6     puedes
5     ganar
3     con
5     saber
8     realizar
9     funciones,
7     álgebra,
9     derivadas.
3     Eso
2     sí,
3     con
8     esfuerzo. 




(Aclaración: este poema no rima e igual parece que no tiene mucho sentido, pero lo que he hecho ha sido poner las cifras del número Pi y en cada cifra poner una palabra con el número de letras correspondientes a la cifra que tocara) 

EVALUACIÓN segundo trimestre

Pues parece mentira pero ya se ha acabado la segunda evaluación y con ella un nuevo temario “aprendido”. En la evaluación del primer trimestre mi conclusión fue que debía trabajar mucho más para poder conseguir buenos resultados y eso he hecho. Pero como dije en la preevaluación, el temario visto en este trimestre me ha resultado más difícil y además hemos visto cosas nuevas, aún así he intentado hacer bastantes ejercicios (algunos de ellos subidos al blog) para poder conseguir un buen resultado. Esta mañana el profesor nos ha dado corregido el examen y la verdad es que no ha sido un resultado magnifico pero pensé que sería mucho peor. Y ahora no voy a decir que el examen me ha parecido fácil después de haberlo hecho tranquilamente en casa puesto que en mi opinión el examen era complicadillo, pero sí que me parece que al hacerlo más tranquilamente y con algo menos de presión se pueden sacar más cosas de las que se sacaron en el examen y con ello obtener mejores resultados.

Ahora voy a pasar a valorar cada ejercicio:

El ejercicio uno le hemos tenido bien.

El ejercicio dos pensábamos que lo tendríamos bien pero la gráfica nos ha fastidiado y nos hemos quedado con una puntuación bastante baja en el ejercicio.

En el ejercicio tres tenemos bien la mitad, nos han faltado las asíntotas.

El ejercicio cuatro no le hicimos, por tanto, no nos hemos puntuado nada obviamente.

Y el ejercicio cinco hemos tenido bien la mitad al igual que en el tres.

Como he dicho, a pesar de no tener un resultado magnífico creo que mi compañera y yo hemos conseguido sacar un examen más o menos decente. Ya sé que lo podríamos haber hecho mucho mejor y como dije en el primer trimestre hay que seguir trabajando y aprendiendo de los herrores.

EXAMEN SEGUNDA EVALUACIÓN

(Antes de publicar el examen, me gustaría aclarar que a pesar de que el plazo para subirlo acababa ayer, tuve problemas a la hora de subir las fotos, hoy lo vuelvo a intentar y al fin me deja). 






1) 

2)

3) 

4) 

5) 

PREEVALUACIÓN examen segundo trimestre

Tras hacer el examen de la segunda evaluación, vamos a reflexionar al igual que lo hicimos la evaluación anterior:

Para empezar he de decir que a pesar de ser un examen más “corto” (que de corto no tenía nada), era a mi parecer bastante más difícil que el anterior. Esto puede ser porque al ser la segunda evaluación la gramática va aumentando en dificultad y además se necesita más tiempo de estudio.

El primer ejercicio era teórico y fue el primero que hicimos ya que si sabíamos la respuesta, haríamos bien el dominio del ejercicio 5, o así nos lo recomendó el profesor.

El segundo ejercicio nos salió bastante bien aunque creo que nos falta una cosilla.

En el ejercicio tres, hicimos el dominio y la continuidad la sacamos a medias, y a lo de las asíntotas no supimos llegar. Así que tendremos bien la mitad del ejercicio.

El ejercicio cuatro fue el peor, básicamente porque a simple vista no le entendimos y le dejamos para el final y como luego no nos dio tiempo pues le dejamos sin hacer. A lo mejor si lo hubiéramos leído detenidamente nos hubiera salido algo, por tanto, intentaré hacerlo en la corrección a ver si me sale.

Y el ejercicio cinco que era el último nos salió parecido al tres: hicimos el dominio, la continuidad a medias y a las asíntotas no llegamos. Así que tendremos bien la mitad del ejercicio o igual un poco menos.

Finalmente quiero decir que sí que he trabajado en esta evaluación, pero probablemente me falte más tiempo de trabajo para hacer más cantidad de ejercicios y así poder asimilarlos mejor. La verdad es que cuando nos entregaron el examen pensé que íbamos a ser un desastre pero finalmente creo que mi compañera y yo nos apañamos bastante bien y conseguimos hacer un examen más o menos decente dentro de lo que cabe.

Examen para casa. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. LÍMITES FUNCIONALES.

LIBRO. (Pagina 232, ejercicio 11)

LIBRO. (Pagina 232, ejercicios 8 y 9)

8) 

9) 

Ejercicio Límites

LIBRO. (Página 140, ejercicio 14)

14) Halla la función inversa, de cada una de las siguientes funciones:

LIBRO. (Página 139, ejercicios 9 y 12)

9) Estudia la simetría de las siguientes funciones, dadas mediante su expresión analítica:

12) 

LIBRO. (Página 137, ejercicio 2)

2) Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

LIBRO. (Página 138, ejercicio 3)

3) Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones dadas por medio de su expresión analítica:

LIBRO. (Página 160, ejercicios 1, 2 y 3)

1) Resuelve las cuestiones que siguen:

a) Halla la función lineal cuya gráfica pasa por el punto (3, 7).
b) La recta que pasa por los puntos (2, 4) y (-2, -4), ¿es una función constante, lineal o afín?
c) Halla la ecuación de la recta que corta a los ejes en los puntos A(0, 3) y B(4, 0). ¿Qué pendiente tiene esta recta?

2) Realiza la gráfica de las siguientes funciones:

3) Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

Constantin Carathéodory

Fue un matemático alemán de origen griego. A él se le deben importantes contribuciones en varios campos de la Matemática, como el cálculo de variaciones, y las teorías de las funciones de variable real y la medida y de la Termodinámica. En el año 1900, contra el parecer de su familia, decidió dedicarse exclusivamente a las matemáticas y se trasladó a Berlín para estudiar bajo la dirección de H.A. Schwarz.
Ingresó en la Universidad de Göttingen, donde obtuvo el doctorado, con una tesis sobre el cálculo de variaciones. En 1908 fue nombrado profesor en la Universidad de Bonn donde trabajó en los fundamentos axiomáticos de la termodinámica.
La obra de Carathéodory abarca varios campos diferentes y realizó importantes contribuciones al cálculo de variaciones, principalmente en la teoría de máximos y mínimos de curvas y sus aplicaciones en la óptica geometríca; el análisis de funciones reales; y a la teoría de funciones de variable compleja. Su formulación axiomática de la Termodinámica, una disciplina basada hasta entonces en conceptos empíricos e intuitivos ha gozado de gran influencia.

Kurt Gödel

Fue un lógico, matemático y filósofo austríaco. Se le considera uno de los lógicos más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX.
Con 18 años ingresó en la Universidad de Viena. Entonces ya dominaba las matemáticas a nivel universitario. Aunque al principio pretendió estudiar física teórica, también asistió a cursos de filosofía y matemáticas.
Asistió a un seminario dirigido por Schlick, donde se estudiaba el libro Introducción a la lógica matemática de Bertrand Russell, lo que le motivó a interesarse por la lógica matemática.
Se le conoce sobre todo por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena. El más célebre establece que para todo sistema axiomático recursivo autoconsistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema, desarrolló una técnica denominada ahora numeración de Gödel, que codifica expresiones formales como números naturales.
También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.
Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal.

Dirichlet

Fue un matemático alemán al que se le atribuye la definición “formal” moderna de una función. Fue educado en Alemania, y después en Francia, donde aprendió de muchos de los más renombrados matemáticos del tiempo, relacionándose con algunos como Fourier. Sus métodos proporcionaron una perspectiva completamente nueva y sus resultados se encuentran entre los más importantes de las matemáticas. Hoy en día sus técnicas están más en auge que nunca.
Dedicaba casi todos sus esfuerzos a las matemáticas y a la historia. Le interesaban particularmente, los grandes acontecimientos históricos, como la Revolución Francesa, y los asuntos públicos, sobre los cuales opinaba cuando menos, desde un punto de vista liberal, que probablemente le fuera inculcado por sus progenitores.
Su primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat, para el caso n = 5, que también fue completada por Legendre, uno de sus revisores. Dirichlet completó su propia prueba casi al mismo tiempo; más adelante completa también la prueba para n = 14.
Gozó de una buena reputación entre sus estudiantes debido a la claridad de sus explicaciones y disfrutó de la enseñanza. Además consiguió introducir el cálculo integral y diferencial en el plan de estudios de la Academia Militar elevando significativamente el nivel de la educación científica.

Georg Cantor

Fue un matemático y lógico nacido en Rusia, aunque de ascendencia alemana y judía.
Cuando tenía 27 años, se convirtió en catedrático en la Universidad de Halle, dando inicio entonces a sus principales investigaciones. Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier le llevaron al desarrollo de una teoría de los números irracionales y en 1874 apareció su primer trabajo sobre la Teoría de conjuntos.
En cuanto al estudio de los conjuntos infinitos, descubrió que aquellos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros.
Además, trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada como axioma adicional de la teoría.
Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticas recibidas y sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de “depresión ciclo-maníaca”. Murió de un ataque cardíaco en la clínica psiquiátrica de Halle.